VC377 指纹识别系统论文

第2章     VC++环境下小波变换及指纹图像处理 think58

2.1   小波的基本理论
2.1.1  小波分析图像处理
小波变换是最近20多年来发展起来的用于信号分析和信号处理的一种新的域变换技术。由于小波变换是把信号在不同尺度上进行小波展开，它更适合于处理突变信号和非平稳信号。小波变换技术已受到人们极大的重视。
Fourier变换是数学分析中最古老的学科之一，即一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和。但Fourier变换只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候，只适宜处理平稳信号。在非平稳信号的分析中，人们希望存在一种变换函数，能够满足在高频信号中，有相对小的时间间隔以便给出较高的精度，而在低频信号中能够以相对较宽的时间间隔给出完全的信息。
小波是有限宽度的基函数，这些基函数不仅在频率上而且在位置上是变换的，它们是有限宽度的波。基于它们的变换称为小波变换。小波变换具有时间一频率自动伸缩能力，这种能力可以在任何希望的频率范围上产生频谱信息。
小波理论的提出可追溯到1910年Haar提出的规范正交基。1975年Caldern发表了接近小波级数展开的再生公式，1981年Stromberg对Harr系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1984年法国地理学家Morlet在分析地震波的局部性质时引入了小波的概念，继而Y. Meyer于1986年创造性地构造出了具有一定衰减性的二进小波函数，扫除了人们对于小波函数是否存在的疑虑，从而真正掀起了小波研究的热潮。同年，S. Mallat将多分辨率分析的概念引入了小波分析及小波函数的构造中，并将小波函数的构造统一于多分辨率分析的框架之下，同时，Mallat提出的快速算法使小波变换从理论研究进一步走向各种应用领域。1988年Daubechies构造出了具有紧支集的正交小波集。1989年，Goifman, Meyer和Quake等引入了小波包。1990年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波函数。1992年，Coher, Daubechies, Feauveau提出了具有紧支撑的双正交小波基。至此，小波理论系统的构架得以建立，它为原来信号处理领域里各自独立的方法，如多尺度分析、拉普拉斯金字塔、精确重建滤波器组等提供了一个统一的理论框架。随着理论研究的不断深入和应用领域的不断扩展，小波分析越来越显示出它的独特魅力。 think58 [资料来源：http://THINK58.com]
1、小波概念
小波变换的定义是把某一被称为基本小波(也叫母小波mother wavelet)的函数 做位移τ后，再在不同尺度 下与待分析的信号 做内积:
         (2.2)
等效的频域表示是:
          (2.3)
式 中 和 分别是 和 的傅里叶变换。
小波变换有以下特点:
1) 有多分辨率(multi-resolution)，也叫多尺度(multi-scale)的特点，可以由粗及细地逐步观察信号。
2) 可以看成用基本频率特性为 的带通滤波器在不同尺度 下对信号做滤波。由于傅里叶变换的尺度特性可知，这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽(带宽与中心频率之比)恒定的特点。注意， 越大相对频率越低。
3) 适当地选择基小波，使 在时域上为有限支撑， 在频域上也比较集中，就可以使 在时、频域都具有表征信号局部特征的能力， 因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。
正如上所述，小波分析的一个主要优点就是能够分析信号的局部特征。比如说，采用小波分析可以发现叠加在一个非常规范的正弦信号上的一个非常小的畸变信号的出现时间。传统的傅里叶变换只能得到平坦的频谱上的两个尖峰。利用小波分析可以非常准确地分析出信号在什么时刻发生畸变。小波分析可以检测出许多其他分析方法忽略的信号特性，例如，信号的趋势、信号的高阶不连续点、自相似特性。小波分析还能以非常小的失真度实现对信号的压缩与消噪，它在图像数据压缩方面的潜力已经得到确认。在二维情况下，小波分析除了“显微”能力外还具有“极化”能力(即方向选择性)，因而引人注意。 think58

[版权所有：http://think58.com]

2、小波在图像处理中的应用
图像处理是小波分析应用的重要领域，近年来小波分析已被证明是进行图像处理强有力的工具之一，由于小波分析技术可以将信号或图像分层次按小波基展开，并且可以根据图像的性质及事先给定的图像处理要求确定到底要展开到哪一级为止，从而不仅能有效地控制计算量，满足实时处理的需要，而且可以方便地实现通常由子带编码技术实现的累进编码(即采取逐步浮现的方式传送多媒体图像)。同时，小波变换具有放大、缩小和平移的功能，能够很方便地产生各种分辨率的图像，从而适合于不同分辨率图像的处理。因此，近十年来，基于小波变换的图像压缩算法得到了很大发展，取得了许多重要的成果，而且越来越成为该领域研究和应用的热点。

内容来自think58

[来源：http://www.think58.com]

2.1.2  连续小波变换
  1、定义
对任意信号 ，f(t)的连续小波变换定义是:
                (2.1)
a为尺度因子，b为平移因子。如果 满足容许条件;  ，则称 为容许小波，可由 恢复原信号
                                  (2.2)
其中 ， 根 据Parseval 恒等式：
 
                 (2.3)
可见 f(t)的连续小波变换就相当于f(t)通过传递函数为 的系统的输 出 。
2、特性
在介绍小波特性之前先给出窗函数的概念。
（1） 定义 :
非平凡函数  L2(R)，称为一个窗函数.如果 也是属于L2(R)的，一个窗函数的 的中心t2与半径 ，定义分别是:
                          (2.4)

think58.com [资料来源：THINK58.com]

                 (2.5)
假定 与Ф都是窗函数，窗函数 的中心与半径分别用t2与半径 给出，那么函数 是中心在b+at*且半径等于a 的一个窗函数，因此由(2.1)式可知连续小波积分给出了信号f(t)具有时间窗[b十at*-a ,b+at*+a  ]的局部信息;窗函数 的中心与半径分别用w*与 表示，则由(2.5)式可知除了一个倍数 与一个线性相位移。 外，连续小波变换还给出了f的一个具有频率窗 的局部信息.
由以上分析可知当尺度a变化时， 对应一系列带通系统，并且可以得出以下结论:
（1）信号f(t)的连续小波变换就是一系列带通滤波器对f(t)滤波后的输出，a反映了带通滤波器的带宽和中心频率，b则为滤波输出的时间参数。
（2）a变化，带通滤波器的带宽和中心频率也变化。a变小，中心频率变大，带宽变宽:a变大，中心频率变小，带宽变窄f(t)通过带通滤波器滤波，对分析信号的局部特性很有价值。信号变化缓慢的地方，主要为低频成份，频率范围也较窄，此时小波变换带通滤波器应相当于a大的地方:反之，信号发生突变的地方，主要是高频成份，频率范围也较宽，小波变换的带通滤波器相当于a小的情况。即伸缩因子a有大到小变化，滤波的范围也从低频到高频变化。 think58.com [资料来源：THINK58.com]

2.1.3  离散小波变换
   将连续小波变换的尺度a离散化按照2的幕级数进行，和 think58好，好think58

[资料来源：http://think58.com]