指纹识别系统

小波分析图像处理
小波变换是最近20多年来发展起来的用于信号分析和信号处理的一种新的域变换技术。由于小波变换是把信号在不同尺度上进行小波展开，它更适合于处理突变信号和非平稳信号。小波变换技术已受到人们极大的重视。
Fourier变换是数学分析中最古老的学科之一，即一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和。但Fourier变换只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候，只适宜处理平稳信号。在非平稳信号的分析中，人们希望存在一种变换函数，能够满足在高频信号中，有相对小的时间间隔以便给出较高的精度，而在低频信号中能够以相对较宽的时间间隔给出完全的信息。
小波是有限宽度的基函数，这些基函数不仅在频率上而且在位置上是变换的，它们是有限宽度的波。基于它们的变换称为小波变换。小波变换具有时间一频率自动伸缩能力，这种能力可以在任何希望的频率范围上产生频谱信息。
小波理论的提出可追溯到1910年Haar提出的规范正交基。1975年Caldern发表了接近小波级数展开的再生公式，1981年Stromberg对Harr系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1984年法国地理学家Morlet在分析地震波的局部性质时引入了小波的概念，继而Y. Meyer于1986年创造性地构造出了具有一定衰减性的二进小波函数，扫除了人们对于小波函数是否存在的疑虑，从而真正掀起了小波研究的热潮。同年，S. Mallat将多分辨率分析的概念引入了小波分析及小波函数的构造中，并将小波函数的构造统一于多分辨率分析的框架之下，同时，Mallat提出的快速算法使小波变换从理论研究进一步走向各种应用领域。1988年Daubechies构造出了具有紧支集的正交小波集。1989年，Goifman, Meyer和Quake等引入了小波包。1990年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波函数。1992年，Coher, Daubechies, Feauveau提出了具有紧支撑的双正交小波基。至此，小波理论系统的构架得以建立，它为原来信号处理领域里各自独立的方法，如多尺度分析、拉普拉斯金字塔、精确重建滤波器组等提供了一个统一的理论框架。随着理论研究的不断深入和应用领域的不断扩展，小波分析越来越显示出它的独特魅力。 copyright think58 [版权所有：http://think58.com]
指纹图像二维小波变换概念及算法
1、概念：
一维信号的离散小波变换很容易推广到二维的情况。假设 是一个一维的尺度函数， 是相应的小波函数，那么，可以得到一个二维小波变换的基础函数：
 ， ， 
2、算法
    图像可以看作是二维的矩阵，一般假设图像矩阵的大小为N×N，且有N＝2n（n为非负的整数）。那么每次小波变换后，图像便分解为4个大小为原来尺寸 的子块频带区域，如图2-2所示，分别包含了相应频带的小波系数，相当于在水平方向和竖直方向上进行隔点采样。进行下一层小波变换时，变换数据集中在LL频带上，图2-3所示为3层小波变换的系数分布。
 等式（2.11）至等式（2.14）说明了图像小波变换的数学原型。
LL频带，该频带保持了原始图像内容信息，图像的能量集中于此频带：           (2.11)
  HL频带，该频带保持了图像水平方向上的高频边缘信息：
          （2.12）
  LH频带，该频带保持了图像竖直方向上的高频边缘信息：
           （2.13）
  HH频带，该频带保持了图像在对角线方向上的高频信息： [资料来源：http://THINK58.com]
           (2.14)
 基于小波变换的指纹图像滤波处理
   小波变换不同于傅立叶变换，小波系数与原始图像存在着空间上的对应关系，这样对于滤波处理来说是十分有利的。我们可以通过了解小波系数的分布情况，通过不同的滤波器来处理小波系数，滤波后的小波变换经过逆变换后便能得到理想的处理结果。 [来源：http://think58.com]

2.2.1  小波系数的频域分布
   小波系数的空间分布同原始图像的空间分布具有很好的对应关系（如图2-9所示）。LL频带是图像内容的缩略图，它是图像数据能量集中的频带。由于经过了小波系数的正规化处理，即等式的处理操作，所以系数的显示能看出图像的内容。而HL、LH和HH频带存放的是图像的细节信息，它们的关系如下：
 HL频带存放的是图像水平方向的高频信息，它反映了图像水平方向上的变化信息和边缘信息；
 LH频带存放的是图像竖直方向的高频信息，它反映了图像在竖直方向上的灰度变化信息和图像边缘信息；
 HH频带存放的是图像在对角线方向的高频信息，它反映了水平方向和竖直方向上图像灰度的综合变化信息，同时包含了少量的边缘信息。 本文来自think58 [来源：http://www.think58.com]

2.2.2  基于小波变换的图像滤波处理
   图像滤波处理是通过滤波器将指定频带的能量进行有效的衰减而对于需要保留的频带能量进行增强。传统基于傅立叶变换的图像滤波处理大都采用傅立叶变换后的频率域的乘法运算，但是傅立叶变换的计算量大，并且变换后的频谱与原始图像的相关性不强。
   小波变换将原始图像和变换系数之间建立了十分好的相关性。所以，在滤波器的设计上，可以针对不同频带分别设计。例如，需要削弱图像水平方向上的毛刺或高频信息，可以通过处理HL频带的小波系数，而不必影像其他方向上的边缘信息。并且，对于多层小波变换而言，还能对不同分辨率级的小波系数进行单独的处理而达到设想的滤波效果。倘若是进行低通滤波，那么可以通过保留LL频带的数据，而将高频小波系数进行有效的衰减。

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2.2.3  指纹图像低通滤波的实现及运行结果
   本节将分析基于小波变换的低通滤波实现。
   为了保持图像边缘信息以及充分利用小波变换的多分辨率特性，在编程中采用了3层小波变换。而进行滤波处理时，为了保持图像信息，可以选择去除下层高频带的小波系数，而保留上层高频带的小波系数，这样能达到较好的滤波效果。如果需要保留部分的边缘信息，也可以将高频带的小波系数进行衰减，而不去除它们。如图2-19所示，程序完成了图像低尺度下的低通滤波操作，去除了大量的图像高频边缘信息。

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