004_RSA算法

各部分的设计与开发
2.2.1 实现RSA加密算法的C++核心类库
1. 大数存储和四则运算
根据RSA算法的要求，为了实现大数的各种复杂运算，需要首先实现大数存储和基本四则运算的功能。当今开源的大数运算C++类有很多，多用于数学分析、天文计算等，本文选用了一个流行的大数类型，并针对RSA算法和本项目的具体需要对其进行了扩充和改进。下面简单介绍大数存储和四则运算的实现原理。
最先完成的功能是大数的存储，存储功能由flex_unit类提供。和普通的类型一样，每一个大数对应一个flex_unit的实例。类flex_unit中，用一个无符号整数指针unsigned * a指向一块内存空间的首地址，这块内存空间用来存储一个大数，所以可以说，大数是被存储在一个以unsigned为单元的线性组中。在方法void reserve( unsigned x )中通过C++的new来给a开辟空间，当flex_unit的实例中被存入比当前存储的数更大的数时，就会调用reserve来增加存储空间，但是当flex_unit的实例中被存入比当前存储的数更小的数时，存储空间并不会自动紧缩，这是为了在运算的时候提高执行效率。结合指针a，有两个重要的无符号整数来控制存储，unsigned z和unsigned n，z是被分配空间的单元数，随数字变大不断增大，不会自己紧缩，而n是当前存储的大数所占的单元数，组成一个大数的各unsigned单元的存入和读出由set、get方法完成，变量n是只读的。类型unsigned在32位机是32位的，所以对于flex_unit这个大数类来说，每个大数最大可以达到 2**32个字节长，这已经超过了32位机通常的最大内存容量，所以是足够进行RSA所需要的各种运算的。图2-3形象的说明了大数存储类flex_unit对大数的管理。

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图2-3 flex_unit对大数的管理
在flex_unit的存储功能基础上，将其派生，得到vlong_value，在vlong_value中实现四则运算函数，并实现强制转换运算符unsigned，以方便大数类型和普通整数的互相赋值。当大数被强制转换为unsigned时，将取其最低四字节的值。四则运算实现的原理十分简单，都是按最基本的算术原理实现的，四则运算过程的本质就是按一定数制对数字的计算，比如相加，就是低位单元对齐，逐单元相加并进位，减法同理。而乘除法和取余也都是按照竖式运算的原理实现，并进行了必要的优化。虽然实现了四则运算函数，但是若是程序里的运算都要调用函数，显得烦琐而且看起来不美观，所以我们另写一个类vlong，关联(Associate，即使用vlong_value类型的对象或其指针作为成员)vlong_value，在vlong重载运算符。这样，当我们操作vlong大数对象的时候，就可以像使用一个简单类型一样使用各种运算符号了。之所以将vlong_value的指针作为成员而不是直接构造的对象，也是为了提高执行效率，因为大型对象的拷贝要消耗不少机器时间。
2. 大数幂模与乘模运算•Montgomery幂模算法
在实现了vlong类型后，大数的存储和四则运算的功能都完成了。考虑到RSA算法需要进行幂模运算，需要准备实现这些运算的方法。所以写一个vlong的友元，完成幂模运算功能。幂模运算是RSA 算法中比重最大的计算，最直接地决定了RSA 算法的性能，针对快速幂模运算这一课题，西方现代数学家提出了很多的解决方案。经查阅相关数学著作，发现通常都是依据乘模的性质 ，先将幂模运算化简为乘模运算。

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通常的分解习惯是指数不断的对半分，如果指数是奇数，就先减去一变成偶数，然后再对半分，例如求D= ，E=15，可分解为如下6个乘模运算。

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归纳分析以上方法，对于任意指数E，可采用如图2-4的算法流程计算 。

图2-4 幂模运算分解为乘模运算的一种流程
按照上述流程，列举两个简单的幂模运算实例来形象的说明这种方法。
① 求 的值
开始 D = 1 P = 2 mod 17 = 2 E = 15
E奇数 D = DP mod n = 2 P = PP mod n = 4 E= (E-1)/2 =7
E奇数 D = DP mod n = 8 P = PP mod n = 16 E= (E-1)/2 =3
E奇数 D = DP mod n = 9 P = PP mod n = 1 E= (E-1)/2 =1
E奇数 D = DP mod n = 9 P = PP mod n = 1 E= (E-1)/2 =0
最终D = 9 即为所求。
② 求 的值
开始 D = 1 P = 2 mod 13 = 2 E = 8
E偶数 D = 1 P = PP mod n = 4 E = E/2 =4
E偶数 D = 1 P = PP mod n = 3 E = E/2 =2
E偶数 D = 1 P = PP mod n = 9 E = E/2 =1
E奇数 D = DP mod n = 9 P = 不需要计算 E = (E-1)/2 =0
最终D = 9 即为所求。
观察上述算法，发现E根据奇偶除以二或减一除以二实际就是二进制的移位操作，所以要知道需要如何乘模变量，并不需要反复对E 进行除以二或减一除以二的操作，只需要验证E 的二进制各位是0 还是1 就可以了。同样是计算 ，下面给出从右到左扫描二进制位进行的幂模算法描述，设中间变量D,P,E的二进制各位下标从左到右为u,u-1,u-2,…,0。 think58.com [资料来源：http://www.THINK58.com]
Powmod(C,E,n)
{
D=1;
P=C mod n;
for i=0 to u do
{
if(Ei=1)D=D*P(mod n);
　　 P=P*P(mod n);
　　 }
　　 return D;
}
有些文献将上述算法称为平方乘积二进制快速算法，例如参考文献中的《基于RSA算法的一种新的加密核设计》，其实这种算法本质上和图2-4的流程完全一致，只是把根据指数奇偶分开的减一和除以二合并成对指数二进制各位的判断而已。在本软件的代码中采用直接扫描vlong二进制各位的办法。
剩下的问题就是乘模运算了。提高乘模运算的速度是提高模幂运算速度的关键。一般情况下，n是数百位乃至千位以上的二进制整数，用普通的除法求模而进行乘模运算是不能满足速度的要求的。为此，Montgomery在1983年提出了一种模加右移的乘模算法（主要著作发表于1985年），从而避免了通常求模算法中费时的除法步骤。本软件仅仅是应用Montgomery(蒙哥马利)算法，算法的具体推导证明需要颇多数论知识，不在本文的讨论范围内，如需了解可参见蒙哥马利的相关著作。下面简单描述RSA中常用的Montgomery(蒙哥马利)算法供参考理解源程序。

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