基于分形的动画应用研究

摘要 分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。 分形几何是研究无限复杂但具有一定意义下自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 人类生活的世界是一个极其复杂的世界，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 ?? 由于计算机软、硬件的飞快发展，计算机模拟分形成为可能并得到实际应用，形成一种“计算机艺术”的方向；计算机模拟分形算法上主要用到“递归与迭代”，图形上用到今天的计算机图形发展。 ·关键词: 分形; 分形几何; 模拟; 递归与迭代; 1??? 基于分形的动画应用研究的意义，国内外的情况综述 1967年，美国的《科学》杂志上发表了一篇题为《英国的海岸线究竟有多长？》的论文。这篇论文对海岸线的本质作了独特的分析，以至当时的整个学术界为之震惊。这篇论文也成为了作者曼德布罗特（Mandelbrot）思想的转折点，分形的理论就从此萌芽并迅速发展起来。曼德布罗特，也成为了分形论的奠基人。 分形的涵义是什么呢？ 我们查阅相关的图书，也找到一些严格的数学定义。但还是曼德布罗特本人提出的定义更简洁和容易让人接受： ”A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way”（如果一个图形的部分以某种方式与其整体本身相似，这个图形就称为分形。）这就是分形的最基本定义。 从分形研究的进展看，近年来，又提出许多新的概念，其中包括，自仿射分形、自反演分形、递归分形、多重分形、胖分形。就我们现在所学的知识来说还无法研究。 分形理论是一门新兴的横断学科，它给自然科学、社会科学、工程技术、文学艺术等极广泛的学科领域，提供了一般的科学方法和思考方式。就目前所知，它有很高程度的应用普遍性。这是因为，具有标度不变性的分形结构是现实世界普遍存在的一大类结构。此处结构的含义十分丰富，它不仅指研究对象的空间几何形态，而是一般地指其拓扑维数(几何维数)小于其测量维数的点集，如事件点的分布，能量点的分布，时间点的分布，过程点的分布，甚至可能是意识点、思维点的分布。 分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动（布朗运动），这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞（每秒钟多达十亿亿次）下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1。 在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。 ? 自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。 ? 有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小 两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。 ? 近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域